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三角錐数と三角数の関係 三角数から三角錐数を求める ![]() |
二乗総和 vs. 三角数 三角数から二乗総和を求める ![]() |
二乗総和に関する3Dアニメーション 三次元アニメーション ![]() |
整数 1 ~ N の二乗総和は、球の各層が正方形の形状を形成することから、四角錐数("Square Pyramid Numbers")
とも呼ばれ,次のように表わされる。(下の左図)
Pyrn = 12 + 22 + 32 + ... + N2
***********square_pyramid.dwg *********
*********tetrahedral_pyramid.dwg *******
この図面の作成方法:To create this drawing :
プログラム sumsqr_1.lsp を (load "sumsqr_1") でロードする。
次にコマンド ラインから square_pyramid と実行命令をタイプする。
スペース間隔には 2.0~2.5 を指定する。1.5 の時にきっちりと詰まる。
次のコマンドで中央の平面を描く: cut_plate
注*: このプログラムは
red_ball.dwg ,yellow_ball.dwg ,green_ball.dwg ,cyan_ball.dwg
blue_ball.dwg ,magenta_ball.dwg ,white_ball.dwg が必要です。
[1](p.45) では、三角錐数を使うと n 番目の三角錐数( Tetn )の式が
Tetn = (1/6) n(n+1)(n+2)  
となる、という非常におもしろいビジュアルな証明をしている。
下図では 理解を助けるために それぞれの数字を異なる色のリングで表わした。
数字の 1,2,3,4,5 に それぞれ 赤、黄、緑、シアン、青 の色を対応させた。
この説明は N = 5 の場合についてである。
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この図面とアニメーションの作成方法:
プログラム sumsqr_3.lsp を (load "sumsqr_3") でロードする。
次にコマンド ラインから sumsqr_3 と実行命令をタイプする。
注* : このプログラムは
red_1_ring.dwg ,yellow_2_ring.dwg
green_3_ring.dwg ,cyan_4_ring.dwg
blue_5_ring.dwg ,magenta_6_ring.dwg
white_7_ring.dwg が必要です。
*********************sumsqr_3_final.dwg *********************
この図で、上の段の三角形は いずれも 5 までの三角数(Tetrahedral number) Tet5
つまり 三角数 T1 から T5までの 総和、すなわち
Tet5 = T1+ T2 + T3+T4 + T5
を表わしている。
上方の行 --一番目の三角形: Tet5
上方の行 --二番目の三角形: 一番上の先端を回転軸にして一番目の三角形を時計回りに120度回転する。
上方の行 --三番目の三角形: 一番上の先端を回転軸にして二番目の三角形を時計回りに120度回転する。
下方の行: 同じ位置における円内の全ての数を加算する。すると、円の総数は5番目の三角錐数が
(T5 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 ) であることに注目。
そこで、この図が 3 x Tet5 = T5 x (5 + 2) であることを示す。
一般的には 3 x Tetn = Tn x (n + 2) = (1/2)n (n + 1) (n + 2) で表される。
故に、
Tetn = (1/6) n(n+1)(n+2)   である。
四角錐数 と 三角錐数 の関係:
Pyrn = Tetn-1 + Tetn を使うと
四角錐数は、次のように表される。
Pyrn = Tetn-1 + Tetn = (1/6)(n-1)n(n+1) + (1/6)n(n+1)(n+2) = (1/6)n(n+1)(2n+1)
この図面とアニメーションの作成方法:
プログラム sumsqr_2.lsp を (load "sumsqr_2") でロードする。
次にコマンド ラインから sumsqr_2 と実行命令をタイプする。
************sumsqr_2_final.dwg ***********
N=5 の場合の例を示す。中心線に、T5の列を描く。 そして、両サイドに Tn の N (= 5) 個のコピーを作る。 列の総数は (2N + 1) (= 11) である。 次に、3つのグループ A, B, C を作る。 3つのグループ数の総和を、図の矢印方向に行う。 グループ A: 上からスタートすると、1 , 1+2+1, 1+2+3+2+1, 1+2+3+4+3+2+1,... である。 各項が連続した二つの三角数の和であるから、項はそれぞれ二乗の数になる。 よってこれらの総和は、 Sn=1+22+32+42+52 グループ B: 赤の列: 1x1 黄の列: 2 x 2=22 緑の列: 3 x 3=32 シアンの列: 4 x 4=42 青の列: 5 x 5=52 これらを加えると 1+22+32+42+52 、そこで、これは二乗数の総和 (Sn) である。 グループ C: B と同じで、総和は Sn である。 このように、(2N+1)個の三角数 Tn のコピーと3つのグループの二乗総和が得られる。 よって 3 Sn = (2N+1)Tn = (2N +1)N(N+1)/2 すなわち Sn = (2N +1)N(N+1)/6
******* x, y, z軸に並行に並べた3個の等しいブロックは、一個のブロックに組み立てられる。*******
***************sumsqr_1_start.dwg **************
***************sumsqr_1_final.dwg **************
最後のブロックの容積は、上に示されるように N(N+1){N+(1/2)} である。
これは、3つのブロックから作られるため、各々の二乗の和は、 1 + 22+ 32+ ...+ N2,
3 (1 + 22+ 32+ ...+ N2) = 3 Sn = N(N+1){N+(1/2)} , または
Sn = (1/6)N(N+1)(2N+1) によって表される。
この図面とアニメーションの作成方法:
プログラム sumsqr_1.lsp を (load "sumsqr_1") でロードする。
次にコマンド ラインから sumsqr_1 と実行命令をタイプする。
筆者の注記:このプログラムは、理由は判らないが、3ブロックをまとめると停止してしまう。
プロセスを継続する際には、次のコマンドを実行する
explode !ss3 その後 "リターン" キー を押す。そして finish_up とタイプする。
質問、問い合わせは 筆者 岩本 卓也 宛てにお願いします。
Last Updated Sept 9-th, 2006
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