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整数の二乗総和

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三角錐数と三角数の関係 三角数から三角錐数を求める

二乗総和 vs. 三角数 三角数から二乗総和を求める

二乗総和に関する3Dアニメーション 三次元アニメーション

三角錐数と四角錐数

整数 1 ～ N の二乗総和は、球の各層が正方形の形状を形成することから、四角錐数("Square Pyramid Numbers")
とも呼ばれ,次のように表わされる。(下の左図)
      Pyr_n = 1² + 2² + 3² + ... + N²

***********square_pyramid.dwg *********  *********tetrahedral_pyramid.dwg *******

この図面の作成方法：To create this drawing :
  プログラム sumsqr_1.lsp　を  (load "sumsqr_1")　でロードする。
  次にコマンド ラインから square_pyramid 　と実行命令をタイプする。
スペース間隔には 2.0~2.5 を指定する。1.5 の時にきっちりと詰まる。
次のコマンドで中央の平面を描く：　cut_plate
注*： このプログラムは
red_ball.dwg ,yellow_ball.dwg ,green_ball.dwg ,cyan_ball.dwg
blue_ball.dwg ,magenta_ball.dwg ,white_ball.dwg　が必要です。

[1](p.45) では、三角錐数を使うと n 番目の三角錐数( Tet_n )の式が

     Tet_n = (1/6) n(n+1)(n+2)   
となる、という非常におもしろいビジュアルな証明をしている。

下図では　理解を助けるために　それぞれの数字を異なる色のリングで表わした。
数字の　１，２，３，４，５　に　それぞれ　赤、黄、緑、シアン、青　の色を対応させた。
この説明は　N = 5　の場合についてである。
ここをクリックしてアニメーションを見る。

この図面とアニメーションの作成方法：
   プログラム sumsqr_3.lsp を   (load "sumsqr_3")　でロードする。
  次にコマンド ラインから sumsqr_3 　と実行命令をタイプする。
注* ： このプログラムは
red_1_ring.dwg ,yellow_2_ring.dwg
green_3_ring.dwg ,cyan_4_ring.dwg
blue_5_ring.dwg ,magenta_6_ring.dwg
white_7_ring.dwg　が必要です。
*********************sumsqr_3_final.dwg *********************
この図で、上の段の三角形は　いずれも　5 までの三角数(Tetrahedral number)　Tet₅
つまり　三角数　T₁ から　T₅までの　総和、すなわち
       Tet₅　= T₁+　T₂ + T₃+T₄ + T₅
を表わしている。
上方の行 --一番目の三角形： Tet₅
上方の行 --二番目の三角形： 一番上の先端を回転軸にして一番目の三角形を時計回りに120度回転する。
上方の行 --三番目の三角形： 一番上の先端を回転軸にして二番目の三角形を時計回りに120度回転する。
下方の行： 同じ位置における円内の全ての数を加算する。すると、円の総数は5番目の三角錐数が
    (T₅ = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 ) であることに注目。
そこで、この図が 3 x Tet₅ = T₅ x (5 + 2)　であることを示す。
一般的には 3 x Tet_n = T_n x (n + 2) = (1/2)n (n + 1) (n + 2)　で表される。
故に、
     Tet_n = (1/6) n(n+1)(n+2)    である。
四角錐数　と　三角錐数　の関係:    Pyr_n = Tet_n-1 + Tet_n   を使うと
四角錐数は、次のように表される。

Pyr_n = Tet_n-1 + Tet_n = (1/6)(n-1)n(n+1) + (1/6)n(n+1)(n+2) = (1/6)n(n+1)(2n+1)

1. 二乗総和 (二次元的な説明-Planar Approach)

ここをクリックしてアニメーションを見る。

この図面とアニメーションの作成方法：
  プログラム sumsqr_2.lsp　を  (load "sumsqr_2")　でロードする。
  次にコマンド ラインから sumsqr_2 と実行命令をタイプする。
************sumsqr_2_final.dwg ***********

N=5 の場合の例を示す。中心線に、T5の列を描く。
そして、両サイドに Tn の N (= 5) 個のコピーを作る。
列の総数は (2N + 1) (= 11)　である。

次に、３つのグループ A, B, C を作る。
３つのグループ数の総和を、図の矢印方向に行う。

グループ A： 上からスタートすると、1 , 1+2+1, 1+2+3+2+1, 1+2+3+4+3+2+1,... である。
各項が連続した二つの三角数の和であるから、項はそれぞれ二乗の数になる。
よってこれらの総和は、 Sn=1+22+32+42+52　
グループ B： 赤の列：　 1x1	
	 黄の列：　2 x 2=22
	 緑の列：　3 x 3=32
	 シアンの列：　4 x 4=42
	 青の列：　5 x 5=52
これらを加えると　1+22+32+42+52　、そこで、これは二乗数の総和 (Sn) である。
グループ C： B と同じで、総和は Sn　である。
このように、(2N+1)個の三角数 Tn のコピーと３つのグループの二乗総和が得られる。
よって  3 Sn = (2N+1)Tn = (2N +1)N(N+1)/2
すなわち    Sn = (2N +1)N(N+1)/6　

2. 二乗総和 (３次元アプローチ)

******* x, y, z軸に並行に並べた3個の等しいブロックは、一個のブロックに組み立てられる。*******

***************sumsqr_1_start.dwg **************  ***************sumsqr_1_final.dwg **************

最後のブロックの容積は、上に示されるように N(N+1){N+(1/2)} である。
これは、３つのブロックから作られるため、各々の二乗の和は、 1 + 2²+ 3²+ ...+ N²,
    3 (1 + 2²+ 3²+ ...+ N²) = 3 S_n = N(N+1){N+(1/2)} , または
       S_n = (1/6)N(N+1)(2N+1) によって表される。

この図面とアニメーションの作成方法：
  プログラム sumsqr_1.lsp　を  (load "sumsqr_1")　でロードする。
  次にコマンド ラインから sumsqr_1 と実行命令をタイプする。
筆者の注記：このプログラムは、理由は判らないが、３ブロックをまとめると停止してしまう。
プロセスを継続する際には、次のコマンドを実行する

     explode 
     !ss3
     　　　その後　"リターン" キー　を押す。そして
     finish_up
	とタイプする。

参考文献

1. Conway,J.H., Guy,R.K.: The Book of Numbers. Springer-Verlag,New York, p 27, 1995.

2. Nelson,R.B. : Proofs Without Words: Exercises in Visual Thinking. MAA, p.77, 1993.

質問、問い合わせは　筆者 岩本　卓也　宛てにお願いします。

Last Updated Sept 9-th, 2006

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