下の図面にて、ABCD は正方形の紙である。
円の四角化（円積）は３つのステップで行う。 1. DABCEの長さが正確にDABCE = 355/113となるような点Eを辺CD上に求める。 芳賀の定理を繰り返し用いる。 2. 面積 = p/4 (赤線 FGBC) で､ 長さ FC = p/4 の四角形を作る。 3. 面積 = p/4 (水色線 PARQ) で、点K が AG の真中になる正方形を作る。 点P は、B が線分 AD（黄線）に接触するまで回転点K を使い、コーナーB を動かして求める。 AP は正方形の一辺である。 K への折り目線は点C と若干外れていることに注意。 |
1. コーナー点D をAB ("1d")の中間点に移動する。
CD と BCが交差する点を印する("2d")。
この点は点C から1/3の距離。
2. コーナー点D を点"2d"に移動する。
この点を"3c"とする。
B と "3c" との距離は 7/9。
3. 点C を"3c"に移動。
この点を"4"とし、点B からの距離は16/81。
この距離を2倍にし(32/81)、その点を"5a"とする。
4. コーナー点A を"5a"に移動。
この点を"6"とし、点C からの距離は64/113。
5. 点C からこの長さの1/4をとり、その点を"E"とする。
長さDABCEは355/113となる。
これはかなり正確なpの近似である。
355/113 = 3.14159292...
p = 3.14159265...
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この図面とアニメーションの作成方法：
プログラム Haga_circle_sqr.lsp を
(load "Haga_circle_sqr") でロードする。
次にコマンド ラインから Haga_step_1 と実行命令をタイプする。
Haga_circle_squaring_step_2_0.dwg 正方形に内接する円の面積 = p/4 Haga_circle_squaring_step_2_1.dwg 二つの長方形（緑と水色）で成す長方形は同じ面積を持つ。 Haga_circle_squaring_step_2_2.dwg F をDEの中点とすると、 DE = 4 - p, FC = 1 - DE/2 = p/2 - 1 となる。 よって水色の長方形はFCに揃うように移動できる。 |
***** Haga_circle_squaring_step_2_3.dwg
***** ***** Haga_circle_squaring_step_2_4.dwg
*****
Haga_circle_squaring_step_2_3.dwg G をDF の中点とし、DA に平行な線GH を引く。 Haga_circle_squaring_step_2_4.dwg DA とGH の間の緑色の長方形の一部分は、水色の長方形と線分GH で作る空間を埋めるために移動できる。 長方形 GHBC は、面積 = p/4 を持つ。 |
この図面の作成方法：
プログラム Haga_circle_sqr.lsp を
(load "Haga_circle_sqr") でロードする。
次にコマンド ラインから Haga_step_2 と実行命令をタイプする。
次のステップで長方形と同じ面積の正方形を作る。 幾何学原論の定理13(Prop. 13, The Elements, Book VI ) を用いる。
************ Euclid_prop_13.dwg *************
*********** Euclid_prop_13_a.dwg ***********
Euclid_prop_13.dwg 直線AB とBC を与える。 直径AC の半円ADC を描く。 点B から線分AC に直角な線BD を引く。 よって AB x BC = BD2 Euclid_prop_13_a.dwg 仮に半円が何らかの理由で描けない場合でも、OB = OD とすれば、点D は定義できる。 これがそのケースに相当する。 OB = OD = (1/2)(AB + BC) である。 |
この図面の作成方法：
プログラム Haga_circle_sqr.lsp を
(load "Haga_circle_sqr") でロードする。
次にコマンド ラインから Haga_step_3
と実行命令をタイプする。
質問、問い合わせは 筆者 岩本 卓也宛てにお願いします。
Last Updated Feb 24, 2007
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