"任意"なる形容詞 に注目されたい。
ギリシャの三大問題の中で "任意"の角の三等分 が他の二つの問題と
異なる点は角度によっては三等分が可能な場合があるということである。
45°, 72°,90°,180° を定規とコンパスを使って三等分できることは
良く知られている。 任意の与えられた角の二等分はできるから
定規とコンパスを使って 3° は作図できるが 1° と 2° は出来ない。
何故なら 72/3 = 24, 24/2 = 12, 12/2 = 6, 6/2 = 3 だからである。
そして もし 2° が作図可能ならば 2 + 3 = 5 ° が可能と言うことになる。
すると 5 x 2 =10, 10 x 2 = 20 ° が作図できることになる。
しかし 60 ° の三等分 つまり 20 ° は 作図不可能の証明がされている。
従って 2° はできない。 そして 1° もだめである。
我々の生活に最もなじみの深い角度の単位 の 1° が 定規とコンパスを
使って作図できないことは驚きでもある。
******** angle_trisection_problem.dwg
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角の二等分は定規とコンパスで簡単にできるが、三等分となるとギリシャの数学者達には難しくてできなかった。
2. 第一点を中心に、第二点を通る円を描く。
ギリシャの数学者達は、証明はできなかったが彼らの三等分の試みがプラトンのルールに反することから、角を三等分できないことは判っていた。
ヒピアス(Hippias)の円積曲線(Quadratrix)、ニコメデス(Nicomedes)のコンコイド(Conchoid)、アルキメデス(Archimedes)の”またがり”手法(Verging)
がその典型的な答えである。
ガウス(Carl
Friedrich Gauss ,1777 - 1855)
は、角の三等分と立方体の倍積は定規とコンパスでは解けないことを指摘はしたが、その証明はしていない。
その後、不可能であることを最初に証明したのはフランス人のヴァンツェル(Pierre
Wantzel, 1814 - 1848)で、１８３７年のことである。
殆どの人は 学校の数学の授業を通して 或る角度が与えられたとき 定規とコンパスを使って二等分できることを知っている。そして 先生に
三等分 は"不可能" であることを聞かされると それが耳に残っていて、チャレンジ精神に満ちた人は なんとなく出来そうな気がして、決して
目的地の存在しない 迷路に踏み込んでしまう。 そんな素人の"自称"数学者 のことを 総称して "三等分屋" 或いは "三等分家" (Trisector)
と呼んでいる。[ 1 ,2 ,3 ] はその実例を詳しくのべている。
このような数多くのドンキ ホーテを 生んできた原因は 数学の世界で 使われる
"不可能" という言葉の解釈が 数学の世界と世間一般とでは食い違うことを理解していない人が数多くいるということらしい。
例えば "土星への有人飛行は不可能である。" という声明は 現在の段階では 真実であるが 未来永劫に真実であるとは限らない。
それに対して "任意の角の三等分は不可能である。" という 数学の証明がなされたら 、それはこれからも永久に真実なのである。
決して コンパスと定規で角度を三等分しようなどと 考えないで下さい。
参考になる序文が次のサイトにあるので一読されることをお勧めする。
Trisecting an angle
本の購入については、筆者のお勧めは[ 1 ]です。説明は簡潔で解かりやすい。
質問、問い合わせは 筆者 岩本 卓也 宛てにお願いします。
Last Updated July 9-th, 2006
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