多角形のコーナーにいる犬が互いの尻尾を追いかける--等角螺旋
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| 等角螺旋 - ズームビュー > 螺旋は何処までも続く  |
正三角形 正三角形の頂点から出発  |
正方形 正方形の頂点から出発  |
| 正五角形 正五角形の頂点から出発  |
正六角形 正六角形の頂点から出発  |
[3] では、等角螺旋について次のように述べている：
４匹の犬が正方形の中庭(ABCD) 200 ft x 200 ft の隅にそれぞれ座っている。
犬は各々の右側の隅の犬を追いかけるように教えてある。
Aの隅の犬はBの隅犬を、Bの犬はCを、、、20ft／秒の一定スピードで追いかける。
A,B,C,D からスタートして、ある時間が経った犬の位置を A',B',C',D' とする。
左右対称であるから、A'B'C'D' も正方形で各犬の運動方向は一定の角度、即ち中庭の中央から犬を結ぶ線との角が
45°となることは明らかである。
(α = 45°)
犬(A)の方向は犬(B)の方向に対し垂直であるから、犬(A)は毎秒20 ft追いつく。
よって、10 秒後の犬(A)と犬(B)の距離はゼロになる。
************ spiral_model.dwg *************
次へ進む前に ４匹の犬の軌跡がどうなるかを見る。
この図面とアニメーションの作成方法：
プログラム brocard.lsp を (load "brocard") でロードする。
コマンド ラインから ndogs と実行命令をタイプする。
多角形の辺数を入力: 4
犬の歩幅を辺の長さAB の比％で指定：(既定値=1%) 既定値はそのまま［改行］キーを押す
表示速度(1-100)を指定 1:非常に速い 100:非常に遅い (既定値 = 50) 既定値はそのまま［改行］キーを押す
total_path =1.41421
ある曲線の任意の点での接線が、その接点に固定点から描く円の半径とで一定の角を成すような曲線を
等角螺旋（または対数螺旋）(Equiangular or Logarithmic Spiral)という。
この曲線は1638年にデカルト(Rene Descartes, 1596-1650)
が力学の研究している時に発見した。
この曲線は Inverse, Pedal, Evolute といった変換をしても それがまた等角螺旋になるという特性(self-reproduction)を
有することがベルヌーイ
(James(Jakob) Bernoulli, 1654 - 1705)
の研究によって明らかにされた。
ベルヌーイは この研究をとても誇りにしていたので 彼の墓に "Eadem mutata resurgo"
("I shall arise the same, though changed") "変化はしても、同じものに生まれかわる。"
ということばと共に、この曲線を彫るように頼んだ。
等角螺旋の特性と公式
図中において、
cot a = MQ/MP
（但し MQ = dr , MP = r dθ）
よって cot α = dr/rdθ または cot α dθ = dr/r
ここで q に関して積分すると
loger = θ cot α + loger0
（r0は θ = 0 の時の r の値）
これは次のように書くことができる loge(r/r0) = θ cot α
or r = r0 e θ cot α
（ここでの ∠θ は時計回りにはかる）
************ equiangular_spiral_def.dwg *************
この例では、唯一わかっていて参照できる半径はOA (= 1.0)である。
それ故 r0= OA として、線分OA から時計回りで角度θ を取ると、 方程式は cot α = 1 であるから
r = e-θ と簡素化できる。
(1) 全ての半径は一定の角度(α)で曲線によって切断される。
(2) 円弧の長さは半径に定数 S = R/cos α を掛けたもの。
円弧の長さ ds = (r2 + (dr/dθ)2)(1/2)dθ = (1 + r2(dθ/dr)2)(1/2) dr
= (1 + (tan α)2)(1/2)dr = (1/cos α)dr
よって、円弧の長さは r = 0 (螺旋の中心) から半径 R = R/cos α までである。
この正方形の場合、総円弧長 = OA/cos α = 1.0/cos(45) = √2 = 1.41421356...
(3) 互いに等しい角度での半径の長さは等比数列を構成する。
等角螺旋曲線における更なる研究
この図は、曲線 r = e-q がどのように見えるかを示している。
この曲線はx と y 軸をP1,P2,P3,...で切断する。そこで原点からの距離を図中で計ると
OP1 = 0.455488, OP2 = 0.094687, OP3 = 0.019683
よって OP1/OP2 = OP2/OP3 = 4.8105 = eπ/2
これは OP3P2 と OP2P1 が相似であることを意味する. 即ち OP3P2 を時計回りに90度回転させ スケールを eπ/2 だけ
拡大すると、これら２つの曲線部分は重なり同一のものになる。 このことは、図面を表示して拡大し、曲線の一部分を
コピーして90度回転し、そして尺度を4.8105で拡大すれば確められる。
*********** equiang_spiral.dwg ************
これは上に述べた特性(3)である。 他の特性についてもこの図面で確かめられる。自分で色々試してみてください。
この螺旋を中心の周りにズームしながら見ていくと等角螺旋 はいつまでも 続く曲線であることがわかる。
そのことを示したのが等角螺旋 - ズーム ビュー のアニメーションである。
この図面とアニメーションの作成方法：
プログラム brocard.lsp を (load "brocard") でロードする。
コマンド ラインから draw_equiangular_spiral と実行命令をタイプする。
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３匹の犬の場合
この図面とアニメーションの作成方法：
プログラム brocard.lsp を (load "brocard") でロードする。
コマンド ラインから ndogs と実行命令をタイプする。
次に多角形の辺数を入力 : 3
∠a = p/6
******************** 3dogs.dwg ********************
４匹の犬の場合
この図面とアニメーションの作成方法：
プログラム brocard.lsp を (load "brocard") でロードする。
コマンド ラインから ndogs と実行命令をタイプする。
次に多角形の辺数を入力 : 4
∠a = p/4
******************** 4dogs.dwg ********************
５匹の犬の場合
この図面とアニメーションの作成方法：
プログラム brocard.lsp を (load "brocard") でロードする。
コマンド ラインから ndogs と実行命令をタイプする。
次に多角形の辺数を入力 : 5
∠a = 3p/10
******************** 5dogs.dwg ********************
６匹の犬の場合
この図面とアニメーションの作成方法：
プログラム brocard.lsp を (load "brocard") でロードする。
コマンド ラインから ndogs と実行命令をタイプする。
次に多角形の辺数を入力 : 6
∠a = p/3
******************** 6dogs.dwg ********************
