立方体の倍積問題

ギリシャの数学者達による立方体の倍積

アルキタス(Archytas)- 3D 立体相接解

この解は、アルキタス( Archytas of Tarentum, およそ 428 BC-350 BC) が最初に見出した。
ここで注目すべきことは、当時の数学者達が二次元や平面のみの幾何学をやっている時に、三つの回転面の交差による解を見出したことである。
彼は歴史の観点から見てもユークリッド( Euclid of Alexandria, およそ 325 BC-265 BC) よりもずっと前に "The Elements" という本を書いている。
下に示す図面では、与えられた長さ AB と AC に関する長さ (AC/AB)^1/3 を求める。

線分を求める：
(1) 三つの回転面を点P で合わせる。
(2) 平面ABC に垂直な線分PM を引く。
(3) 点M は円ABC 上に置く。
(4) AC/AP = AP/AM = AM/AB
(5) 故に AC/AB = (AM/AB)³
AB = 1 で AC = 2 ならば AM = (2)^1/3 となる。

上記(3) と (4) の幾何学的論証は、参考文献で紹介するヒース(Heath)の Ref.1 を参照されたい。
ここでは、解析幾何学を用いて式を導く。
解析的に三つの回転面は次のように表せる：
(1) 直円錐：     x² + y² + z² = (a/b)²x²
(2) 円柱：         x² + y² = a x
(3) 円環：         x² + y² + z² = a {x² + y²}^1/2
(1) と (2)から x² + y² + z² = {x² + y²}² / b² が求まる。
更に(3)を用いて
         a / {x² + y² + z²}^1/2 = {x² + y² + z²}^1/2 / {x² + y²}^1/2 = {x² + y²}^1/2 / b

もしくは
AC / AP = AP / AM = AM / AB
を得る。

********* Archytas_Delian_model.dwg ********* ******** Archytas_Delian_result.dwg ********
この図面の作成方法：
  プログラム Archytas_Delian.lsp を (load "Archytas_Delian") でロードする。
  左側の図：コマンドラインから Archytas_delian_model と実行命令をタイプする。
  右側の図：コマンドラインから Archytas_delian と実行命令をタイプする。

結果の数値を確認
線分AM の長さ {x² + y²}^1/2 の数値を確認。
(2) を (3)に代入
                    x² + y² + z² = a ( a x )^1/2                             ------------------------- (4)
(1) と (4)の右側を式で表すと、x は次のようになる    x = {b⁴/ a }^1/3 ---------- (5)
(5) を (2) の右側に代入すると
            x² + y² = a x = {a² b⁴}^1/3
よって AM = {x² + y²}^1/2 = {ab²}^1/3 である。
y と z の値は次の結果からも計算できる。
                                     y² = {a² b⁴}^1/3 - {b⁸ / a²}^1/3
                                     z² = {a⁴ b²}^1/3 - {a² b⁴}^1/3
ここで a = AC = 2 および b = AB = 1 とすると
AM = (2)^1/3 および AP = (4)^1/3
さらに、 x = (1/2)^1/3 、 y² = (4)^1/3 - (1/4)^1/3 、 z² = (16)^1/3 - (4)^1/3
または x = 0.7937005 , y = 0.9784889 , z = 0.9656298 で、これは点P の３次元座標値である。

円柱

半円ABC はZ-軸方向に押し出される（即ち、ABC平面に垂直）
この円柱の方程式： x² + y² = a x

****************************** half_cylinder.dwg ******************************
この図面の作成方法：
プログラム Archytas_Delian.lsp を (load "Archytas_Delian") でロードする。
次にコマンドラインから cylinder_2views と実行命令をタイプする。

円環

半円ABC をx-軸回りに90度回転させる。
半円はABC平面に垂直である。この半円ABC をx-軸回りに90度回転させる。
その結果は、内径がゼロである円環の４分の１に等しくなる。
この円環の方程式は： x² + y² + z² = a {x² + y²}^1/2

****************************** torus_90_deg.dwg ******************************
この図面の作成方法：
プログラム Archytas_Delian.lsp を (load "Archytas_Delian") でロードする。
次にコマンドラインから torus_2views と実行命令をタイプする。

円錐

線分AC（x-軸）回りにAD を90度回転させる。
これで円錐の４分の１を作成する。
この円錐の方程式は： x² + y² + z² = (a/b)²x²

.
****************************** cone_90_deg.dwg ******************************
この図面の作成方法：
プログラム Archytas_Delian.lsp を (load "Archytas_Delian") でロードする。
次にコマンドラインから cone_2views と実行命令をタイプする。

３曲面の交差について

曲面を３Ｄメッシュで表示すれば交差する境界が見やすい。次の図はシステム変数ISOLINESを400にした場合。

****************************** Archytas_3_surfaces.dwg ******************************
この図面の作成方法：
プログラム Archytas_Delian.lsp を (load "Archytas_Delian") でロードする。
コマンドラインから draw_cone , draw_cylinder, draw_torus の実行命令をタイプする。
次にVPORT コマンドでビューポートを４つに分割する。各ビューポートで視点を変える。

３曲面の交差について

****************************** intersection_3_surfaces.dwg ******************************
この図面の作成方法：
プログラム Archytas_Delian.lsp を (load "Archytas_Delian") でロードする。
コマンドラインから draw_cone , draw_cylinder, draw_torus の実行命令をタイプする。
次にINTERSECT コマンドで曲面を変更する。
ビューポートを４つに分割し、視点の方向を変える。

点"P"の位置の決め方

まずintersection_3_surfaces.dwgの図面から始める。交点をズーム拡大する。ビューポートは３つ。

********************************* find_point_p.dwg *********************************

曲面オブジェクトを分解する。境界線は別々になる。 "END" osnap コマンドで点P を指定する。
********************************* explode_find_point_p.dwg *********************************

LIST コマンドを実行すると、次の値がテキスト画面に表示される。
POINT Layer: "0"
Space: Model space
Handle = 663
at point, X=0.79370053 Y=0.97848890 Z=0.96562987
********** point_of_intersection.dwg **********

参考文献

1. Heath, Sir L. Thomas:"A History of Greek Mathematics", VOL. 1, From Thales to Euclid., Dover.

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質問、問い合わせは筆者岩本卓也宛てにお願いします。

Last Updated Nov 22, 2006