立方体の倍積問題

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折り紙による解

準備--芳賀の定理 - I (ref.1)

机の上に正方形の紙を置く。辺AD の中点に印をする。
紙の片方の隅(B)を掴み、点E へ合わすようにもって行き、下の図に示すようにFG を結ぶ想像線に沿って指で押さえながら折る。
芳賀和夫 (Ref.1) は、図に示すように、結果がおもしろい分数をいくつも発生することに気付いた。

例

一番小さい分母から始め、作られる分数線分の長さは
1/3 , 2/3, 1/6, 5/6, 1/8, 3/8, 5/8 であることに注目。
1/2 から1/3,1/6,3/8のように分数が得られるのは非常におもしろい。

この結果は、1979年に日本の数学ジャーナルに芳賀の定理"Haga's Theorem"として発表された。
それ以来さらに２つを作ったので、これを芳賀は参考文献ref.1にて芳賀の定理"Haga's theorem 1"と呼んだ。

芳賀の定理とは: 正方形の片方の隅が対する辺の分数点に位置するとき、この折り方はいくつもの分数値を作り出す。

1/2以外の場合で分数を見つけるためには、簡単なコンピュータのプログラムが必要である。そのモデルを次に示す：
******** Haga_theorem_1_sample.dwg ********

この図面の作成方法：
プログラム Haga_number.lsp を(load "Haga_number") でロードする。
次にコマンドラインから Draw_Haga_1 と実行命令をタイプする。

最後のテキストの表示は手動で行って下さい。
将来は自動的にできるようにします。

一般的な場合

AE = x　とすると、 y1 = (1 + x)(1 - x)/2 y2 = 2x /(1 + x) y3 = (1 + x²)/(1 + x) y4 = (1 - x)²/2 y5 = 1 - y2

******** Haga_theorem_1_general.dwg ********

y1-y5 を次の図に示す。

1/2, 1/3, 1/4 の x 値に関しては、
実際の点は点印で表示する。

y1 = y2 を与える x の値は、おもしろいことに
その方程式の解である：
x³ + x² - 3x - 1 = 0

この図面の作成方法：
プログラム Haga_number.lsp を
　　　　 (load "Haga_number") でロードする。
次にコマンドラインから Draw_Haga_number と実行命令をタイプする。

x の増加値 = 0.001
********** Haga_number_graph.dwg *********

The result of computation up to denominator value 10 is shown below. ******* Haga's Number List ******* x y1 y2 y3 y4 y5 -2- 1/2 3/8 2/3 5/6 1/8 1/3 -3- 1/3 4/9 1/2 5/6 2/9 1/2 2/3 5/18 4/5 13/15 1/18 1/5 -4- 1/4 15/32 2/5 17/20 9/32 3/5 3/4 7/32 6/7 25/28 1/32 1/7 -5- 1/5 12/25 1/3 13/15 8/25 2/3 2/5 21/50 4/7 29/35 9/50 3/7 3/5 8/25 3/4 17/20 2/25 1/4 4/5 9/50 8/9 41/45 1/50 1/9 -6- 1/6 35/72 2/7 37/42 25/72 5/7 5/6 11/72 10/11 61/66 1/72 1/11 -7- 1/7 24/49 1/4 25/28 18/49 3/4 2/7 45/98 4/9 53/63 25/98 5/9 3/7 20/49 3/5 29/35 8/49 2/5 4/7 33/98 8/11 65/77 9/98 3/11 5/7 12/49 5/6 37/42 2/49 1/6 6/7 13/98 12/13 85/91 1/98 1/13 -8- 1/8 63/128 2/9 65/72 49/128 7/9 3/8 55/128 6/11 73/88 25/128 5/11 5/8 39/128 10/13 89/104 9/128 3/13 7/8 15/128 14/15 113/120 1/128 1/15 -9- 1/9 40/81 1/5 41/45 32/81 4/5 2/9 77/162 4/11 85/99 49/162 7/11 4/9 65/162 8/13 97/117 25/162 5/13 5/9 28/81 5/7 53/63 8/81 2/7 7/9 16/81 7/8 65/72 2/81 1/8 8/9 17/162 16/17 145/153 1/162 1/17 -10- 1/10 99/200 2/11 101/110 81/200 9/11 3/10 91/200 6/13 109/130 49/200 7/13 7/10 51/200 14/17 149/170 9/200 3/17 9/10 19/200 18/19 181/190 1/200 1/19

この一覧表の作成方法：
  プログラム Haga_number.lsp を(load "Haga_number") でロードする。
  次にコマンドラインから List_Haga_number と実行命令をタイプする。
  分母の一番大きい値を入力（この場合 10）
  出力ファイル名はテキストのファイル名は"Haga_number.txt"。

次の章では、x = 73/100 に関する y1 の値の計算が必要。
このような例の場合は、コマンドラインから haga_1 を実行して処理できる。

入力・出力の例

Command: haga_1 Denominator ?:100 Numerator ?:73 Haga's Number List x y1 y2 y3 y4 y5 73/100 4671/20000 146/173 15329/17300 729/20000 27/173

2. 芳賀和夫の折り紙解 (ref.1)

このRef.1 では、正方形の紙を折って、辺の長さ(15329/20000)を作り出す方法を示す。
ここをクリックしてアニメーションを見る。

ABCD は正方形の紙。
ステップ 1: C が点E にくるように折る。辺CD は点f で線分AB に交差する。 Af を二分する点F を求める。
ステップ 2: C が点F にくるように折る。折り曲げ線は点g でCB と交差する。 Bg を50 %伸ばし、点G を定義する。
ステップ 3: D が点G にくるように折る。折り曲げ線は点H でCD と交差する。
LISTコマンドを使って線分AH のプロパティーを得る。

from point, X=0.00000000 Y=0.00000000 Z=0.00000000 to point, X=0.76645000 Y=1.00000000 Z=0.00000000 Length =1.25993873, Angle in XY Plane = 53 Delta X =0.76645000, Delta Y = 1.0, Delta Z =0.0

AH³ = (1.25993873)³ = 2.0000841
長さ AH = 1.25993873 は 2^1/3 = 1.259921...の非常に良い近似値である。
********** Origami_Delian_2_desc.dwg *********

この図面とアニメーションの作成方法：
プログラム Haga_Delian.lsp を(load "Haga_Delian") でロードする。
次にコマンドラインから Haga_Delian と実行命令をタイプする。

参考文献

1. Haga, Kazuo: "Origamics part - I" , (in Japanese), 1999, ISBN 4-535-78293-8

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質問、問い合わせは筆者岩本卓也宛てにお願いします。

Last Updated Jan 09, 2007