立方体の倍積問題
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ギリシャの数学者達による立方体の倍積

メナケムス(Menaechmus) - 円錐解

メナケムス( Menaechmus , およそ 380 BC - 320 BC) はデリアン問題を解くのために放物線と直角双曲線を用いた。 

 
 x, y を直線a, b間の二つの比例中項とすると

	a / x = x / y = y / b

 それで  x2 = ay,  y2 = bx , 　xy = ab

 従って、これらの３曲線の内いずれか二つのペアが
 デリアン問題の解を与える。

(1) 放物線と双曲線-I
		x2 = ay,  xy = ab
(2) 放物線と双曲線-II
		y2 = bx,  xy = ab
(3) 二つの放物線
		x2 = ay,  y2 = bx


******** Menaechmus_Delian_desc.dwg *******

この図面の作成方法：
  プログラム Menaechmus.lsp  を (load "Menaechmus") でロードする。
  次にコマンドラインから Menaechmus と実行命令をタイプする。

メナケムス(Menaechmus)による放物線と双曲線の描き方

解析幾何学を知っている今の人たちにとって放物線や双曲線を描くのはさほど難しいのものではない。しかしメナケムスの時代には全てが直線と円（または直定規とコンパス）で行われていた。円錐曲線の定義も無かった。円錐曲線の定義はそれから１世紀も後にアポロニウスによってなされた。

放物線を描く    x2 = ay

AO は長さを a とする。
点C はy-軸上に指定。
直径AC の半円を描く。
この弧は点D でx-軸を切断する。
すると ODC と OAD は相似三角形となる。
よって、 OD2 = CO x OA
または x2 = a y で
P(x,y) は放物線 x2 = ay 上の点である。

もう一つの放物線は： y2 = b x
同様の引数をこのタイプにも適用できる。

**************** parabola_x2_ay_desc.dwg ***************

ここをクリックしてアニメーションを見る。

この図面の作成方法：
  プログラム Menaechmus_Delian.lsp  を (load "Menaechmus_Delian") でロードする。
  次にコマンドラインから test_draw_x2_ay と実行命令をタイプする。
  アニメーションのjpgファイルを出力する場合は、実行ファイル auto_draw_x2_ay を用いる。

直角双曲線   xy = ab を描く



**************** hyperbola_xy_ab_desc.dwg ***************

ここをクリックしてアニメーションを見る。

線分AO と BO の長さをそれぞれ a と b にする。
点B を通る縦線CD を引く。
点A を通る横線CE を引く。
X-軸上の点F を指定。
CE に垂直な線分FG を下す。
G からO に線分を引き、その線を点H でCD と交差するまで伸ばす。
H から横線を引く。
この線は点P でF を通り縦線と交差する。
二つの三角形OAG と HBO は相似であるから、OA/AG = HB/OB または a/x = y/b となる。
よって xy = ab
また、点P (x,y) は直角双曲線上の点で： xy = ab

この図面とアニメーションの作成方法：
  プログラム Menaechmus_Delian.lsp  を (load "Menaechmus_Delian") でロードする。
  次にコマンドラインから test_draw_xy_ab と実行命令をタイプする。
  アニメーションのjpgファイルを出力する場合は、jpgfile を指定して jpg_yes フラグを立て、auto_draw_xy_ab を実行する。

放物線と双曲線-I

図の中で
ON = (b/a)1/3 ,  OM = (b/a)2/3
a = 1, b = 2 とすると、
ON = (2)1/3 および OM = (2)2/3 となる。

この図面の作成方法：
  プログラム Menaechmus.lsp を  
　　(load "Menaechmus") でロードする。
  次にコマンドラインから Menaechmus_1 と実行命令をタイプする。

∠BMNと∠MNAは共に90度である。（何故？）
これは次章で述べるが、プラトーのアカデミーグループがデリアン問題を見つけるために作った装置を発明するのに繋がる。

********** Menaechmus_Delian_1.dwg *********

放物線と双曲線-II

この図面の作成方法：
  プログラム Menaechmus.lsp   を 
　　(load "Menaechmus") でロードする。
  次にコマンドラインから Menaechmus_2 と実行命令をタイプする。

********** Menaechmus_Delian_2.dwg *********

二つの放物線

この図面の作成方法：
  プログラム Menaechmus.lsp を  
　　(load "Menaechmus") でロードする。
  次にコマンドラインから Menaechmus_3 と実行命令をタイプする。

********** Menaechmus_Delian_3.dwg *********

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質問、問い合わせは 筆者 岩本 卓也宛てにお願いします。

Last Updated Nov 22, 2006

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