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ギリシャ時代の円の求積

アルキメデス(Archimedes)「螺旋」

サモスのコノン( Conon of Samos, 約280BC - 約220 BC) は螺旋を発明し、極方程式をr = a qで表した。
この曲線をアルキメデス( Archimedes, 287BC - 212 BC) は円積問題（円の四角化）に応用した。
現在ではこの曲線をアルキメデスの螺旋(Archimedean Spiral)と呼んでいる。 

 
 アルキメデスは "On Spiral" という本の中で
 もしr が点P への半径ベクトルとすれば、
 

OR = r2/a = (a q) (q) = r q = PSの弧の長さ
であること証明している。


点R はPで接する線と、OでOPに垂直な線との交点である。


線分OR を"subtangent"と呼ぶ。
この結果をT で接する線に適用すると
　　OU = 弧の長さ TV = (p/4) OT
となる。

これは、一回りした時 subtangent (q = 2p)
が半径の 2p 倍になることを意味する。

*********** spiral_subtangent.dwg ************

この図面の作成方法：
   プログラム sqr_circle.lsp　を   (load "sqr_circle")　でロードする。
  次にコマンド ラインから spiral_a 　と実行命令をタイプする。
このコマンドはラジアン0.001の増加角を持つアルキメデスの螺旋を作成する。
ポリラインを小片に分解し、これらの小片を延長して点P とT で接する線を描く。
ファイル spiral_subtangent.dwg を開き、LIST コマンドでORとOU の長さ、弧の長さを求める。

長さがp の線分の求め方

上記から、長さpの線分は求めることができる。
求め方：
(1) 点O (x = y = 0で）から始まるアルキメデスの螺旋を描く。
注： x = 2p の時x-値が1.0となる定数"a"を選択する。
(2) 一回りしたら、曲線がx-軸を点Q (OQ = 1)で切断する。
(3) 点Q で接線を引く。
(4) この接線は点P でy-軸と交差する。
OP の長さは pである。
これは半径OQ の円の円周に等しい。

接線の引き方には説明を要する。
理論的には接線は、角度q がゼロに近づく限界で定義される。
コンピュータのプログラムでは、点(1, 0)にズームし角度qを小さく小さくすることで達成される。
************** tangnet_line.dwg ***************

３つのビューポートを使用


************** Archimedes_circle_squaring_desc.dwg ***************

結果表示

ここをクリックしてアニメーションを見る。

この図面とアニメーションの作成方法：
   プログラム sqr_circle.lsp　を   (load "sqr_circle")　でロードする。
  次にコマンド ラインから sqr_circle 　と実行命令をタイプする。
jpg ファイルを作成するには make_anim_jpg　と実行命令をタイプする。
*** Archimedes_circle_squaring_result.dwg ****

参考文献

  1. Heath,Thomas L. :"History of Greek Mathematics Vol. I From Thales to Euclid" Dover 1981

  2. Heath,Thomas L. :"A Manual of Greek Mathematics" Dover 1963 original 1931

  3. Heath,Thomas L. :"A History of Greek Mathematics Vol. II" Dover 1981 original in 1921

  4. Heath,Thomas L. :"The Works of Archimedes Dover" 2002 original in 1912

  5. Knorr,Wilber Richard :"The Ancient Tradition of Geometric Problems" Dover 1993

  6. Knorr,Wilber Richard :"The Textual Studies in Ancient and Medieval Geometry",Birkhauser, 1989
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質問、問い合わせは 筆者 岩本 卓也宛てにお願いします。

Last Updated Nov 22, 2006

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