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ギリシャ時代の円の求積

1. ヒピアス(Hippias) -- 円積曲線

ヒピアス( Hippias, 約460BC-約400BC) は円積曲線(Quadratrix) という曲線を発明した。これは円を変形するのに使用されることから、現在ではそう呼ばれている。
しかし、ヒピアス自身は角を三等分するのにこの曲線を発明したので、三等分曲線(Trisectrix)と呼んだ。 ヒピアスがこの曲線を円の四角化(Squaring Circle)問題を解くのに利用できると知っていたかどうかは判らない。


******* Hippias_circle_squarer_desc.dwg ******

詳しくは ヒピアス(Hippias) - 円積曲線 の章で説明。

2. アルキメデス(Archimedes) --「円の計測」

アルキメデス( Archimedes, 287BC - 212 BC) は、精密にpの計算を行った最初の人である。

彼の方法は、同じ円に内接する多角形と外接する多角形の周囲の長さがそれぞれ円周の下限値と上限値となるという事実に基づいている。

六角形と十二角形との例を下図に示す。


********* pi_hexagon.dwg ********* ********** pi_12gon.dwg *********

これらの図面では、直径を10に設定している。図面を開き周囲の長さを見て下さい。
("LIST" コマンドか "Properties" オプションを使用)
周囲の10分の1がp の近似値。

近代の表記法

彼のアイデアは近代の表記法では
n(2)ksin(q/2k) < p < n (2)k tan(q/2k)  で表される。
ここで n は多角形の辺数、q は∠p/n である。
k は n が倍になった回数、即ち nの倍加数。例えば k = 2 の場合は、多角形の辺数は n x (2)2 ⇒ n x 4  となる。
アルキメデスは n = 6 の多角形から始めた。
その場合は次のようになる。
6(2)ksin((q/6)/2k) < p < 6 (2)k tan((q/6)/2k)

彼は多角形の辺数を 96(k = 4)まで増やし、次の結果を得た。
3 (10/71) < p < 3 (1/7)
または小数値で
3.14084 < p < 3.142858 
計算が比率を使って行われたり(例えば3の平方根を265/153で置き換える等)、また彼の時代から千年も経った後になって三角法が発明されたことなどを考えると、これは非常に恐るべきことである。


******************************** Archimedes_96_gon.dwg ********************************

ここをクリックしてアニメーションを見る。

フィボナッチ(Fibonacci)、ヴィエート(Viète)、ルーメン(Roomen)、ルドルフ(Ludolph) による改良

アルキメデスから約18世紀の後、数学者達はアルキメデスのp近似に関する概念を三角法を用いることで、より精密な下限界と上限界の計算を行い改訂した。

詳しくは アルキメデス(Archimedes)「円の計測」 の章で説明。

3. アルキメデス(Archimedes) --「螺旋」

アルキメデス( Archimedes, 287BC - 212 BC)は、彼の本「螺旋」(On Spirals) の中で 螺旋を用いてpの長さを求めている。

ここをクリックしてアニメーションを見る。

詳しくは アルキメデス(Archimedes)「螺旋」 の章で説明。

参考文献

  1. Heath,Thomas L. :"History of Greek Mathematics Vol. I From Thales to Euclid" Dover 1981


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質問、問い合わせは 筆者 岩本 卓也宛てにお願いします。

Last Updated Nov 22, 2006

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