アルキメデスの解を使って3次方程式を導く。
代数による表現:
3つの三角形 CDM、COL、CAN は相似、よって CM/CD = CL/CO = CN/CA となる。
そこで x/2 = (1 + y)/x = (x + a)/(1 + 2y) から
⇒ x2 = 2 + 2y と 1 + 2y = 2(x + a)/x を得る。
ここで双方の y を消去すると、 x 2 - 1 = 2(x + a)/x または x 3 - 3x - 2a = 0 となる。
(但し、x = 2cos(q) 、 a = cos(3q) である。)
三角関数の公式 cos(a+b) = cos(a)cos(b) - sin(a)sin(b) と sin(2a) = 2*sin(a)cos(a)
を使うとcos(3q) = 4cos3 (q) - 3 cos (q ) を得る。
図から x = 2cos(q) と a = cos(3q ) の関係が求まる。
これを コサインの3倍角の公式に代入すると、方程式は
x 3 - 3x - 2a = 0 となる。
これは a + x = (1 + 2y)*cos(q) と y = DO *cos(2q ) であるから
これらの関係式により、同じ三等分方程式が導かれる。
質問、問い合わせは 筆者 岩本 卓也 宛てにお願いします。
Last Updated Nov 22, 2006
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