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古典的な解

三等分方程式

アルキメデスの解を使って3次方程式を導く。

三等分方程式の導き方:

代数による表現:

3つの三角形 CDM、COL、CAN は相似、よって  CM/CD = CL/CO = CN/CA  となる。

そこで  x/2 = (1 + y)/x = (x + a)/(1 + 2y)  から

⇒ x2 = 2 + 2y と 1 + 2y = 2(x + a)/x  を得る。

ここで双方の y を消去すると、 x 2 - 1 = 2(x + a)/x  または  x 3 - 3x - 2a = 0   となる。

(但し、x = 2cos(q)a = cos(3q)   である。)


******** trisection_equation_desc.dwg *********

三角関数による表現:

三角関数の公式  cos(a+b) = cos(a)cos(b) - sin(a)sin(b)  と  sin(2a) = 2*sin(a)cos(a)

を使うと

cos(3q) = 4cos3 (q) - 3 cos (q )  を得る。

図から x = 2cos(q)  と  a = cos(3q )  の関係が求まる。

これを コサインの3倍角の公式に代入すると、方程式は  

    x 3 - 3x - 2a = 0  となる。

三角関数を用いた方程式の導き方について

図から CB = CO + ON = CA * cos(q) = (CD + DA)cos(q )  を求める。

これは  a + x = (1 + 2y)*cos(q)  と  y = DO *cos(2q )  であるから

これらの関係式により、同じ三等分方程式が導かれる。


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質問、問い合わせは 筆者 岩本 卓也 宛てにお願いします。

Last Updated Nov 22, 2006

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