特殊曲線

特殊曲線を使った角の三等分

コンコイド(Conchoid) - ニコメデス( Nicomedes )が発明、パップス( Pappus) が使用。

この曲線は初めコックロイド (Cochloid) と呼ばれ、後にコンコイド (Conchoid) と呼ばれるようになった。
ニコメデス ( Nicomedes) がデリアン問題 (Delian Problem) を解くために発明し、
その後パップス ( Pappus) が角の三等分に使用できることを示した。

コンコイドの定義

点D は固定点C（ポールと呼ぶ）の周りに
線分AB（定規と呼ぶ）に沿って動く。

DEの長さは一定値である。

Eの軌跡をコンコイド(Conchoid)と言う。
*********************** conchoid_curve.dwg ***********************

ポールと定規の両端点を選択しコンコイドを描く方法：
プログラム utility_curves.lsp を (load "utility_curves")　でロードする。
次にコマンドラインから test_conchoid と実行命令をタイプする。

コンコイドを用いた角の三等分を下図に示す。

三等分の仕方：
Step 1: 直角座標軸O-XYを描き、OY上に点Aを定める。
線分 OB を引き、三等分する角を∠AOBとする。

Step 2: 点O を中心に半径(a)の円を描く。円と線分OBの交点をL とする。
L からX軸に平行な線を引き、Y軸との交点をDとする。

Step 3: Oを基点にしたポールを想定し、線分DLと交わる点からの長さが
常に2aとなるような曲線NCM、コンコイド(Conchoid)を描く。

Step 4: 点L からY軸に平行な線を引き、コンコイドとの交点をCとする。
線分OCは∠AOBを三等分する。

ここをクリックしてアニメーションを見る。
******** conchoid_trisection_desc.dwg ********

一般に、OD=b とすれば、コンコイドの極座標表示は r = b/cosφ + 2a である。

一方直角XY 座標表示では (x² + y²)(y - b)² = 4a²y² となる。

この図面とアニメーションの作成方法：
プログラム nicomedes.lsp と utility_curves.lsp を (load "nicomedes") と (load "utility_curves")　でロードする。
次にコマンドラインから conchoid_trisection と実行命令をタイプする。
三等分を各ステップごとに実行する。

コンコイドの描画ツール

コンコイドを描くツールも発明された。図に示すように一方が（灰色部分）が固定され、もう一つの方（水色部分）が動く。 OとPは掛けくぎ。ポールOは移動部分の溝に沿って自由に動く。 Pは移動部分（水色）に固定され、固定した部分（灰色）の溝に沿って自由に動くことができる。この例では、長さPQが、OQとX軸で作る角を三等分するように設定。（上図）

移動端点Qが、点Pを通る水平線上に来たら、三等分は出来上がり。

******** conchoid_drawing_tool.dwg ********

既に判っているように、拡大（ズーム）コマンド無しで正確にカーソルを線上に合わせるのは難しい。ここで二つの操作をアニメーションを使って紹介する。

第一の例では拡大コマンドを使用せずに行い、第二の例で拡大コマンドを使用する。

第一の例アニメーション
第ニの例アニメーション

この図面とアニメーションの作成方法：
プログラム nicomedes.lsp と utility_curves.lsp を (load "nicomedes") と (load "utility_curves")　でロードする。
次にコマンドラインから test_1 と test_2 とそれぞれ実行命令をタイプする。
test_1: 第一のケース：---拡大コマンドを使用しないで三等分
test_2: 第二のケース：---拡大コマンドを使用して三等分

参考文献

1. Yates,Robert C.:"The Trisection problem",first published in 1942.

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質問、問い合わせは筆者岩本卓也宛てにお願いします。

Last Updated Nov 22, 2006