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特殊曲線を使った角の三等分

マクローリン(Maclaurin) の三等分曲線 (Trisectrix)

マクローリン(Colin Maclaurin , 1698-1746) は三等分曲線(Trisectrix)を使って角を三等分をした。

マクローリンの方法を下図に示す。

三等分曲線の方程式
極座標において: r = CP - CQ = 2cos(q) - 1/2cos(q)

=(2cos2q)/(2cosq) + 1/(2cosq ) = 2QS + CQ = CR である。

よって QS = SR  および OQ = OR となる。


******** Maclaurin_tri_desc.dwg ********
直交座標において:

点CがX-Y軸の原点と仮定する

r を sqrt(x2 + y2) で置き換え、cosq を y/sqrt(x2 + y2 )で置き換えると

y2 = x2(3 - 2x) /(1 + 2x)

ここでX座標の原点をCからO(距離が1)へ移行 (x を x+1で置き換える)

三等分曲線の方程式は: y2 = (x + 1)2(2x - 1) /(3 + 2x) となる。

三等分曲線の特性
この曲線は Y軸を x = -1 と 1/2 で交差し、∠QCO が90度に近づくと、点R は線分 x = -3/2 に近づき、両方とも上がって下りる。

何故この曲線が角の三等分に使用されるかは、この図が三等分方程式を導くのに用いる次の図と比較されれば、はっきりする。


******** trisection_equation_desc.dwg ********

三等分の例 - 60度の場合

∠AOB を三等分する。

3つの三等分の解がある。

3つの解とは、与えられた角の3分の1が

q (= 60) --->RCO = 20度

360 + q --->180 - OCS = 140度

2x360 + q --->RCT = 260度 (-100度で表される)

である。

ここをクリックしてアニメーションを見る。


******** Maclaurin_60_deg.dwg ********

この図面とアニメーションの作成方法:
   プログラム Maclaurin.lsp を   (load "Maclaurin") でロードする。
  次にコマンド ラインから DRAW_MACLAURIN_ONLY と実行命令をタイプする。(三等分曲線)

三等分:

三等分曲線を描いたら三等分する∠AOBを指定する。

参考資料

1. Dudley,Underwood :"The Trisectors" The Mathematical Association of America,1994.p 12-13


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質問、問い合わせは 筆者 岩本 卓也宛てにお願いします。

Last Updated Nov 22, 2006

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