特殊なツールを使った角の三等分
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特殊なツールを使った角の三等分

1. 大工用直角定規

一口に大工用直角定規と言っても,ピンと来ない人もあると思うので説明をしておく。
ここで言う大工用直角定規による 角の三等分は 1928年にアメリカの数学誌(American Mathematical Monthly)
に発表されたものであるから 当然アメリカの大工用直角定規(carpenter's square) のことを指している。
小さいものは 12 インチx 8インチ から 大きなものは 36 インチ x 24 インチ またそれ以上の
ものもある。 長い辺と短い辺は直交しており 1 インチから 2 インチの一定幅である。
長い辺と短い辺の幅は大きなものでは同じであるが、小さなものでは必ずしも同じではなく短い辺の幅を
小さくしてある。
日本の大工の使う "さしがね"( かねじゃく(曲尺,矩尺、鉄尺とも書く), 大工がね,かねざし)は幅が1.5 センチ位
で幅は狭いので角の三等分には あまり適していないと思われる。

大工用直角定規による角の三等分を下図に示す。

三等分する角をAOBとする。

大工用の直角定規の幅は両方とも m であるとする。
内側の辺の延長が外側の辺と交わる点を T とする。
外側の辺の交点を R とする。
点 R と T の距離を m とする。
外側の辺上に R から 2m の距離に点 Pの目印を付ける。
この定規を使って OB から m の 幅の平行線を引く。

定規の内側の辺が点O を通り、コーナー R が
この平行線上を動くように 定規を動かす。

点 P が 線分 AO の上に来たとき
R と O を結ぶ線が ∠AOB の三等分線になっている。

理由: ΔOPT,ΔORT, ΔORK は合同である。

ここをクリックしてアニメーションを見る。.
詳しくは 大工用直角定規 の章で説明。
****** carpenter's_square_desc.dwg ******

2. トマホーク(Tomahawk)

トマホークは北米の原住民(American Indian と呼ばれている)が主に戦闘用に使っていた現在で言う
斧の形をしたもので 先端の鋭利な刃は最初は石、近世になって 鉄で作られていた。
"Tomahawk" は 原住民の呼び名を 17 世紀頃 英語化したものである。
西部劇の中で見られるように 目標に投げても使えるし、接近戦でも使える武器である。
驚くことにアメリカの軍隊では今でもゲリラ対策の部隊の兵士の装備の一部である。
ここで "トマホーク" と言っているのは "トマホークみたいな形をした平面図形" という意味で
武器であるトマホーク を角度の三等分に使うというわけではない。

トマホークの形をした図形を使った角度の三等分を下図に示す。
この手法を発明したのが誰なのか分かっていないが、1835年 に フランスで出版された本に紹介されている。

トマホークは真っ直ぐな辺OQ 、半円 SQR 、
点Q から更に同じ半径距離に位置する
鋭く尖った点 P から成っている。
その名前のとおり トマホーク みたいである。

三等分する角をAOB とする。
半円の部分をOB の上に乗せ
トマホークの柄の下側 OQ が点O をとおる
ように動かして、点P が線分AO 上に重なる時に
∠AOB は三等分される。
上記、大工用直角定規の場合のように
次の関係が成り立つ。

PQ = QS = SR
大工用直角定規の場合との違いは
半円の部分が常にOBに接しているので
OB に平行な線を引く必要がないことである。

ここをクリックしてアニメーションを見る。
詳しくは トマホーク(Tomahawk) の章で説明。
************** tomahawk_desc.dwg **************

3. 製図用三角定規

製図用三角定規を下図に示す。
二つの三角形 CDE と LMN は製図では一般的に使われる。

中心O の単位円を描く。

三等分する角をこの単位円上に点A を持つAOB とする。

∠AOP は 90度、
長さ OP = cos(AOB)=a

点Q は (2a, 0)

y軸上の点R は
OR = 単位円の半径の3倍となるように定める。

点S は RS = OQ = 2a となるように定める。

詳しくは 製図用三角定規 の章で説明。
********* drafter's_triangles_desc.dwg *********

三等分の仕方

点C はX軸上にあり、CD が点T を通るようにする。

三角形の底辺 CE と MN は同じ線上に置く。

線分LM が点S を通るようにする。

コーナー点M がy軸上にくれば角の三等分は終了。

ここをクリックしてアニメーションを見る。

参考文献

1. Robert C.Yates:"The Trisection problem"


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質問、問い合わせは 筆者 岩本 卓也宛てにお願いします。

Last Updated Nov 22, 2006

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